湖北江南东风专用特种汽车改装厂

    在混凝土搅拌运输车拌筒的设计上，各企业间技术是有差别的，如何根据较先进的产品来进行反求设计就显得比较重要。在实际测量中，拌筒的直径和高度可以较容易地测定，而此时寻找一种由离散的测量点拟合成光滑且与罐桶良好贴合的螺旋线的方法就显得比较迫切。本文在文献[1]的基础上提出了一种拌筒螺旋线的拟合方法，导出了相应的计算公式，并根据模拟测量数据进行了拟合计算，得到了较好的结果，为拌筒螺旋线的反求设计提供了有益的参考。

1  前锥拌捅螺旋线螺旋角的拟合

　　用h1、h2和h3分别表示前锥、中柱和后锥的高度，r1、r2和r3分别表示前锥小端、中柱和后锥小端的半径，β1、β2和β3分别表示前锥、中柱和后锥螺旋线的螺旋角。若以前锥小端端面为θp平面，其圆心O为坐标原点，拌筒的中轴线为z轴，建立柱坐标系，则前锥螺旋线理论方程可表示为：

　　式中α1为前锥半锥角，p1为前锥螺旋线参数，θqm为螺旋线从小端转至大端时的旋转角：

　　如测量出拌筒参数r1、r2和h1，即可以根据式（2）计算出α1，因此由式（1）可见只要拟合出p1即可得到相应的螺旋角。设前锥螺旋线上n个测量点为Ai（θi, pi, zi）（i=1,2,…,n），则由式（1）算出的理论值和实际值偏差的平方和为：

　　实际上拟合的曲线应保证式（3）偏差最小。但是如果直接对式（3）求导来求pi则会得出非线性方程，难以求解，因此可将式（1）进行对数变换，得：

根据式（4）可构造新的偏差函数：

将式（1）带入式（5）可得：

将式（6）中两个偏差函数相加得总的偏差函数：

由式（2）和式（7）可得：

2 中柱螺旋线螺旋角的拟合

　　中段柱面螺旋线方程可表示为：

其中θzm是柱面螺旋线旋转至后锥大端时的旋转角：

　　由式（8）可见cotβ2与z之间是线性关系，可把cotβ2看成一个整体直接进行最小二乘拟合。设中柱螺旋线上m个测试点为Bi（θi, pi, zi）（i=1,2,…,n），则由式（2.1）可得理论值和实际值偏差的平方和为：

将式（8）带入式（9）可得偏差函数：

将式（10）对cotβ2求导并使其等于零即可得：

3 后锥拌筒螺旋线螺旋角的拟合

　　后锥锥面螺旋线方程为：

　　式中θhm为螺旋线旋转至后锥小端时的旋转角；α3为后锥半锥角，p3为后锥螺旋线参数：

　　设后锥螺旋线上k个测量点为Ci（θi, pi, zi）（i=1,2,…,n），首先将式（11）进行对数变换，可以得到一个偏差函数，即可利用与拟合前锥螺旋线类似的方法拟合出p3，然后根据式（12）可得：

4 典型螺旋线测量的拟合

　　为了对上文所推导出的公式进行验证，给定罐车拌筒h1、h2等模拟设计参数如表1所示。假设三段螺旋线的螺旋角β1＝β2＝β3＝75°，根据模拟设计参数用MATLAB软件随机产生300个测量点。将推导的拟合公式利用MATLAB软件编程计算，可以拟合得到前锥螺旋线螺旋角β1＝75.2486°，中柱螺旋线螺旋角β2＝74.9130°，后锥螺旋线螺旋角β3＝75.1054°。计算结果与开始假设的螺旋角75°很接近，拟合精度较高。根据拟合出的螺旋角和模拟拌筒参数可以画出三维的拌筒螺旋线，其局部视图如图1所示。

5 结束语

　　计算表明本文给出的拟合公式是有效可行的，拟合出螺旋线的螺旋角达到了较高的精度，为拌筒螺旋线的反求设计提供了有益的参考。